設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有ω（q）=ω₀−Aq²，求證：每支光學(xué)支的聲子態(tài)密度為：

計(jì)算由N個(gè)質(zhì)量為M的相同原子組成一維單原子鏈的聲子態(tài)密度g（ω），設(shè)單原子鏈的原胞長(zhǎng)度為a，β為恢復(fù)力常數(shù)。

由正負(fù)離子構(gòu)成的一維無(wú)限長(zhǎng)原子鏈，離子間距為a，離子的質(zhì)量相等，為M，電荷交替變化，第n個(gè)離子的電荷為e（−1）ⁿ，離子間的相互作用是兩種相互作用的總和，（1）原子間的近鄰相互作用，恢復(fù)系數(shù)為β，（2）離子間的庫(kù)侖相互作用。
（1）證明，庫(kù)侖相互作用對(duì)原子力常數(shù)的貢獻(xiàn)為：

ε₀為介電系數(shù)，m為自然數(shù)。
（2）證明色散關(guān)系可以表示為
，
其中，ε₀為介電系數(shù)。
（3）證明，當(dāng)qa=π/a時(shí)，

考慮一個(gè)全同原子組成的平面方格子，正方形的邊長(zhǎng)為a，每個(gè)原子的質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β。用u_l，m記第l列，第m行的原子垂直于格點(diǎn)平面的位移。
（1）證明運(yùn)動(dòng)方程為：

（2）設(shè)解的形式為
，
證明色散關(guān)系為
。
（3）證明獨(dú)立解存在的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2π/a的正方形區(qū)域的正方形，分別畫(huà)出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y時(shí)的ω（q）圖。
（4）對(duì)于長(zhǎng)波長(zhǎng)極限，qa<<1時(shí)，證明

（5）在第一布里淵區(qū)畫(huà)出等ω線，并標(biāo)出ω的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)和鞍點(diǎn)。