考慮一個(gè)全同原子組成的平面方格子，正方形的邊長為a，每個(gè)原子的質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β。用u_l，m記第l列，第m行的原子垂直于格點(diǎn)平面的位移。
（1）證明運(yùn)動(dòng)方程為：

（2）設(shè)解的形式為
，
證明色散關(guān)系為
。
（3）證明獨(dú)立解存在的區(qū)域?yàn)檫呴L為2π/a的正方形區(qū)域的正方形，分別畫出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y時(shí)的ω（q）圖。
（4）對于長波長極限，qa<<1時(shí)，證明

（5）在第一布里淵區(qū)畫出等ω線，并標(biāo)出ω的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)和鞍點(diǎn)。

原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為a的無限長一維單原子鏈，僅考慮近鄰相互作用，近鄰原子之間的相互作用為β。如果相對平衡位置位移為u_n=Acos（qna−ωt）。
（1）求該格波的時(shí)間平均能量中勢能和動(dòng)能相等。
（2）求該格波平均每個(gè)原子的時(shí)間平均能量。

考慮原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為a的無限長一維單原子鏈，考慮長程相互作用，設(shè)第n個(gè)原子與第n+m以及n‒m個(gè)原子之間的恢復(fù)系數(shù)均為β_m。
（1）求格波的色散關(guān)系，
（2）求長波長極限下的色散關(guān)系。