已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為
其中a,b是常量，求粒子的平均能量.

根據(jù)麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出兩分子的相對速度υ_r=υ₂-υ₁和相對速率的概率分布，并求相對速率的平均值

晶體含有N個(gè)原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O”所示.當(dāng)原子離開正常位置而占據(jù)圖中的“×”位置時(shí)，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為u，試由自由能F=nu-TS為極小證明，溫度為T時(shí)，缺位和填隙原子數(shù)為

晶體含有N個(gè)原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O”所示.當(dāng)原子離開正常位置而占據(jù)圖中的“×”位置時(shí)，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

假設(shè)正常位置和填隙位置都是N，試證明，由于在晶體中形成n個(gè)缺位和填隙原子而具有的熵等于

試根據(jù)公式證明，對于相對論粒子有
上述結(jié)論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立.