在兩種商品交換的經(jīng)濟體中，兩個人（a，b）有如下的效用函數(shù)：假定a最初的資源稟賦R_a=（9，3），即a擁有9個X₁和3個X₂；而b最初的資源稟賦為R_b=（12，6），即b擁有12個X₁和6個X₂。定義兩種商品X₁和X₂的價格之比，并標(biāo)準(zhǔn)化商品2的價格P₂=1。證明：均衡的價格水平ρ^*=0.5。

一個企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，Q為產(chǎn)出，x_i為投入的第i種要素的數(shù)量。
（1）用數(shù)學(xué)方法給出該企業(yè)處于規(guī)模報酬遞增的表達；
（2）證明：把該規(guī)模報酬遞增的企業(yè)一分為二，產(chǎn)出之和小于原來產(chǎn)出。

某行業(yè)存在著N（N>2）家相同的企業(yè)，每家企業(yè)的成本函數(shù)相同，即成本函數(shù)為。市場需求函數(shù)為P=a-bQ，。通過古諾模型下的均衡產(chǎn)量和價格的決定證明當(dāng)企業(yè)個數(shù)N→∞時，市場均衡價格會等于企業(yè)的邊際成本，即當(dāng)企業(yè)家數(shù)無窮多時，市場結(jié)構(gòu)會趨于完全競爭。

假設(shè)在一個純交換經(jīng)濟中有兩個消費者，i=A，B和兩種商品j=1，2。消費者的初始稟賦。消費者A的初始稟賦和效用函數(shù)分別為w^A=（1，0）和；消費者B的初始稟賦和效用函數(shù)分別為w^B=（0，1）和。商品1和2的價格分別用p₁和p₂來表示。
（1）求競爭均衡（提示：在計算競爭均衡時可把商品1的價格標(biāo)準(zhǔn)化為1）。 
（2）假設(shè)α=1/2，β=1/2，使市場出清的價格水平和均衡消費量分別為多少？

假定兩個具有相同偏好的人同居一室，他們的效用來自看電視的時間x與所吃的零食量y。效用函數(shù)由下式給出：又假定每個人要花30元，p_x=10元，p_y=10元，并且假定兩人是一起看電視的（禁止單獨收看電視）。問：這兩個人該如何配置自己的收入，才符合薩繆爾森規(guī)則？